Puede que estés pensando que la idea de que puedan haber infinitos más grandes sea un pésimo chiste que atenta contra el sentido común. Sin embargo, a finales del siglo XIX para Cantor esta idea no estaba del todo errada, ni siquiera significaba algo que pudiera atentar contra la intuición (¿o sí?). Habrá que indagar al respecto y estudiar uno de los resultados matemáticos más polémicos de la historia.

¿Qué es el infinito? Puedes pensar que el infinito es algo que no puede acabar, algo que no puede tener finalidad. Una imagen intuitiva sobre el infinito suele ser aquella de una caldera que tiene monedas infinitas, por más que queramos contar todas las monedas no podremos acabar. De tal manera puedes pensar el infinito como una línea, un espacio,con objetos o como un conjunto. El infinito que nos debe interesar es el infinito de las matemáticas, que si bien se suele pensar en términos de conjuntos y más bien el concepto de infinito suele ser un adjetivo, cosa que tampoco tendría que ser un problema para nosotros pues un conjunto infinito es muy parecido a la imagen de una caldera con monedas infinitas, una colección de cosas infinita.

En teoría de conjuntos se sabe que el conjunto de los números naturales, i.e., el conjunto N={0, 1, 2,…..} -en este caso incluimos el cero y que se le añade como un natural aunque muchos no lo hacen y lo excluyen de tal conjunto, lo dejaré para otra ocasión el tema-, es un conjunto infinito; ese conjunto suele también denominarse como el conjunto de los enteros positivos. Se sabe también que todo conjunto infinito es numerable si y sólo si hay una relación biunívoca con el conjunto de los enteros positivos. Entendamos la relación biunívoca con conjuntos finitos: el conjunto de las sillas con el conjunto de estudiantes, si la relación que hay entre estudiantes y sillas es biunívoca significa que para cada estudiante hay una silla que le corresponde; en todo caso, diríamos que el conjunto de estudiantes y el conjunto de sillas son del mismo tamaño, es decir, hay una misma cantidad de estudiantes como de sillas. En términos más técnicos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad si ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos -la forma de simbolizar la cardinalidad de un conjunto A es: n(A)-.

Entonces ¿qué sucede con los conjuntos infinitos? Cantor, filósofo, lógico y matemático, tenía en mente que todo conjunto infinito debía tener la misma cardinalidad , es decir, Aleph sub-cero; y es aquí donde hay algo raro ¿cómo se supone que un conjunto infinito debe tener la misma cardinalidad? Bueno, uno debe tomar en cuenta que para que un conjunto infinito se numerable, éste debe tener un correspondencia biunívoca con el conjunto de los enteros positivos. El que un conjunto infinito sea numerable nos avienta muchas luces, pues podemos identificar un infinito que sea numerable con el conjunto de los enteros positivos, i.e., ponerlo en correspondencia biunívoca. En consecuencia, todo conjunto infinito numerable tendrá que ser de la misma talla que el conjunto de los enteros positivos, siendo este el infinito Aleph sub-cero.

 

Aleph sub-cero

¿Cómo puede suceder que otros infinitos tengan correspondencia biunívoca con el conjunto de los enteros positivos? Los resultados de Cantor por demostrar dicha idea dieron paso a demostrar que ciertos conjuntos podían ser equivalentes en cardinalidad haciendo uso de las operaciones aritméticas de los cardinales y las operaciones de conjuntos y funciones. Por ejemplo, uno podría poner en correspondencia biunívoca el conjunto de los enteros positivos con la del conjunto de los números pares mediante la función m=2n (agárrate cualquier número de los enteros positivos y multiplícalo por 2 y obtendrás un número par, y sí ¡el cero es par!). Mediante la mentada función yo puedo poner en correspondencia biunívoca los enteros positivos con los números pares, teniendo entonces un infinito numerable tal que cumple con que ambos conjuntos tengan la misma cardinalidad, es decir, son del infinito Aleph sub-cero. Así pasa también con los números racionales, los enteros negativos y otros más (dejaré para otra ocasión la bella construcción de la correspondencia biunívoca de tales conjuntos con el conjunto de los naturales).

Ahora bien ¿habrá algún conjunto que no sea del mismo tamaño que Aleph sub-cero? Cantor en un momento llegó a pensar que todo conjunto infinito debía tener el mismo número de elementos o ser del mismo tamaño, sin embargo poco tiempo sucedió para darse cuenta que al menos en sus propios resultados había un conjunto cuya cardinalidad era más grande que el de los naturales (o enteros positivos).

¿Qué clase de monstruo o cosa podría rebasar el tamaño de un infinito como el de los números naturales? Tal vez ya lo intuiste, pues en efecto es el conjunto de los números reales, i.e., el conjunto R (si no recuerdas cuáles son los reales, sólo piensa en los números que tienen decimales en conjunto con los negativos, enteros y el cero). ¿Cómo llegó Cantor a tales resultados? Cantor mediante un famoso método de demostración llamado diagonalización, puede a su vez demostrar que el intervalo de [0. 1] tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los reales (ésta prueba se hace mediante la formulación de una función biyectiva) y puedo demostrar que el intervalo de [0, 1] no es numerable. Dado que se puede demostrar tanto que el intervalo tiene la misma cardinalidad que R como también demostrar que el intervalo no es numerable, puedo inferir que R no es numerable. ¿Cómo ocurre que el intervalo no sea numerable? Hagamos la prueba:

Asignemos a cada natural un número del intervalo [0. 1]

f(1) = 0,1354685969…

f(2) = 0,9462047504…

f(3) = 0,4935583883…

f(4) = 0,9573474747…

f(5) = 0,7403564739…

f(6) = 0,3275043464…

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Si se tratase de construir un nuevo número tal que pudiera diferir al menos en una enésimo lugar del decimal que fue asignado a un número natural, dicho número del intervalo no estaría dentro de la lista, es decir, el número real asignado a un n-número natural si modificase al menos un lugar del número real, tal número real no estaría asignado por el  n-número natural; supóngase que modifico 0,9462047504 para 2, podría asignarle otro n-número natural pero incluso podría darle otro enésimo lugar a ese mismo número real tal que no estaría asignado. En otras palabras, no importa cuántos números del intervalo de [0. 1] yo asigne a un número natural, siempre habrá un número del intervalo que no estará asignado.

Por este mismo hecho, podemos llegar a concluir que el conjunto R no es numerable, pues en consecuencia encontraremos un número dentro del intervalo [0, 1] que no se encuentra en el conjunto de los naturales; podríamos también concluir, y es algo de lo que concluyó también Cantor, que n(N) < n(R), i.e., la cardinalidad de R es mayor a la cardinalidad de N. Lo que es equivalente a decir que el infinito de R es más grande que el infinito de N. A este otro infinito estrictamente mayor a N le denominó Aleph sub-uno.

De hecho, un poco más a fondo, Cantor había demostrado que si tomábamos los mismos subconjuntos de N y formábamos un conjunto conformado por las partes, o subconjuntos, de N, este nuevo conjunto que toma las partes de N es mayor al mismo N, lo cual se representa de la forma típica de la teoría de conjuntos: n(N) < n(P(N)) la cardinalidad de N es menor a la cardinalidad de la potencia de N, i.e., 2 elevado a la cardinalidad de N. De tal suerte, podemos componer infinitos de mayor tamaño Aleph sub-cero < Aleph sub-uno < Aleph sub-dos…

A estos últimos Cantor los denominaría transfinitos.