Todos en algún momento cuando estudiamos Lógica (Teoría de Conjuntos), Matemáticas, Física o cualquier área fuertemente relacionada al campo de las demostraciones nivel lógico-matemático, siempre escuchamos que uno o varios profesores mencionan la famosísima, sublime y original Paradoja de Russell. Sin embargo, cuando se intenta explicar la paradoja no parece que muchos, o en su mayoría, ofrezcan con claridad una explicación medianamente rigurosa de la paradoja. Me gustaría explicarte la Paradoja de Russell a detalle y espero no cometer el mismo error que muchos.
Pasemos por una breve contexto histórico en la época en que la comunidad matemática se preocupaba por la fundación de las matemáticas:
Poniendo en contexto histórico, la paradoja surge precisamente en los años en los que Cantor y Frege –digamos finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX- habían desarrollado, cada uno respectivamente, una forma de poder definir las nociones básicas de las matemáticas y derivar sus leyes –e.g., la noción de número. El primero, Cantor, por medio de un teoría de conjuntos y el segundo, Frege, a partir de un sistema lógico de segundo-orden donde pudiera derivar nociones matemáticas y leyes de ésta última. Ambos, Frege y Cantor, terminarían creando, aunque separadamente, una teoría extensional conjuntista.
Ahora bien, la tan conocida paradoja de Russell aplica o se puede encontrar en ambos intentos debido a una noción o principio que tanto Cantor, Frege y Russell –éste último, Russell, puso en evidencia el error fundamental de tal principio-, aceptaban hasta al momento en que Russell descubrió la paradoja. Este principio lleva por nombre Principio de comprehensión irrestricto. El Principio de comprehensión irrestricto (abreviatura PCI de ahora en adelante) nos dice que si P es una propiedad arbitraria, entonces existe el conjunto de tal propiedad, es decir, {x : x tiene la propiedad P}. Por ejemplo, supongamos que V es la propiedad de ser verde y a partir de tal propiedad yo puedo construir un conjunto tal que sólo entran las cosas que tienen la propiedad de ser verde, i.e., {x tal que x tiene la propiedad V}.
El descubrimiento de la paradoja tiene sus primeras insinuaciones cuando el mismo Russell reformula un teorema en la teoría de conjuntos de Cantor. Tal teorema fue un prueba mediante diagonalización y una parte esencial del teorema del mismo Cantor, reformulada por Russell y mostrada con notación más contemporánea, demuestra que dado un conjunto A la cardinalidad del conjunto potencia de A es mayor que la cardinalidad del conjunto A, i.e.,
Supongamos que sea A un conjunto arbitrario tal que sus elementos son 1 y 2.
A= {1,2}. La cardinalidad de A –i.e., [A]- es el número de elementos encontrados en el conjunto, i.e., [A]= 2 porque sólo hay dos elementos, a saber: 1 y 2
La potencia del conjunto A –i.e., p(A)- es el conjunto que contiene los siguientes elementos= { {1}, {2}, {1,2} }.
La cardinalidad de la potencia del conjunto A –i.e., [p(A)]- es= 3, porque hay 3 elementos, a saber: {1}, {2} y el {1, 2}
por lo que la [A] es menor en cardinalidad que [p(A)], es decir,
[A] < [p(A)]
(Si al lector se le complica lo anterior, le hago saber que en la formulación expuesta no es necesario que la tenga del todo en cuenta, pues la he expuesto sólo para mantener el contexto en el que Russell descubre la paradoja).
Para Russell, en particular, tal prueba de Cantor chocaba con una idea derivada del PCI que Russell aceptaba en su momento, a saber: sea B el conjunto que contiene a todas las cosas (o ya sean también conjuntos) debe tener mayor cardinalidad que cualquier otro conjunto; por lo tanto, p(B) debe estar incluida en B y la cardinalidad de B es mayor que p(B). Tal resultado en el conjunto p(B) es lo que le lleva a Russell a sospechar lo que posteriormente sería la paradoja haciendo la analogía con el conjunto que no se pertenece a sí mismo; pongámosle, en nombre de Russell, el conjunto R .
Por otra parte, la Paradoja de Russell llega a plantearse de forma espléndida al momento de revisar los resultados del trabajo de Frege. Russell encuentra en los trabajos de Frege un problema al plantear la Ley Básica V, tal ley dice lo siguiente:
“La extensión de P es igual a la extensión de Q si y sólo si todos y sólo los objetos que caen en P también caen en Q”
Por cuestiones didácticas, y para comodidad de mi lector, evitaré formular la paradoja como originalmente se planteó desde el sistema de Frege. Para esto, usaré un ejemplo y una notación más simple y es la que sigue:
Notación: ∈ es el símbolo de pertenencia y ∉ es la negación de pertenencia; {x : x…} significa ‘el conjunto de la x tal que x…’ ; ‘<->’ significa ‘si y sólo si’.
Supongamos que Axelito es mi alumno y yo le enseño teoría de conjuntos. Supongamos que estoy convencido de que el PCI es fundamental para la enseñanza de teoría de conjuntos. Digamos que escribo en el pizarrón lo siguiente:
B= { 1, 2, 3}
Axelito me pregunta si es posible que B pertenezca a su mismo conjunto. Yo, considerando la buena pregunta de Axelito, le respondo que no. Es evidente que B no es un elemento o miembro del conjunto B porque B sólo tiene de elementos 1, 2 y 3. Axelito, después de varios minutos anonadado y perplejo, me pregunta si es posible la propiedad de no pertenecer a sí mismo; a lo que le respondo que sí, tratándolo como ingenuo, que por el PCI es posible la propiedad de no pertenecer a sí mismo tal que nos queda de la siguiente manera:
R= {x : x ∉ x}
Pero Axelito con su actitud filosófica y crítica me pregunta si R ∈ R. No iba dejar que mi propio alumno pudiera hacer tales preguntas absurdas y pasé a hacer la demostración.
Caso 1: Sup. Que R ∈ R, entonces R satisface la propiedad que todos los miembros de R satisfacen, i.e., no ser miembros de sí mismos, entonces R ∉ R.
Axelito, sin embargo, se percata de que algo extraño hay en esa demostración, entonces me pide hacer la prueba a la inversa.
Caso 2: Sup. que R ∉ R, entonces R satisface la propiedad que todo objeto debe satisfacer par ser elemento de R, por lo tanto R ∈ R.
Y como Axelito pasó con diez sus cursos de Lógica 1 y 2, se percatará de que podemos, entonces, componer los resultados del caso 1 y 2 de la siguiente manera:
R ∈ R <-> R ∉ R
!
Axelito, al igual que su maestro, se percatan de la evidente contradicción. Posteriormente, Axelito jamás volvió a creer en el PCI.
Si el lector es capaz de comprender el problema, entenderá que el problema descansa sobre un noción que en su momento Frege, Russell, Cantor y muchos otros filósofos y matemáticos atrás creían que era intuitivo, a saber: el Principio de comprehensión irrestricta.
De esta forma, la paradoja de Russell puede darnos a entender que en ocasiones el sentido común puede llevarnos a antinomias. Para resolver tal contradicción muchos recurrieron a teorías axiomáticas donde nuestras intuiciones tuvieron que esconderse del monstruo de las matemática. Sin más, queda preguntar: ¿esto acaso no sugiere que tenemos que abandonar en ocasiones la intuición o sentido común y volar al mundo de las abstracciones más profundas de la mente o si no de lo que llamamos “pensamientos de Dios”?
